Geometria – GAMAR

La geometria consta de quatre apartats: Cossos tridimensionals, Línies i figures, Posició, Transformacions geomètriques.

LA GEOMETRIA: GE

La geometria es refereix a fenòmens que transcorren en l’espai, i aquest és potser el subjecte de coneixement més proper a la persona, ja que des del moment de néixer, vivim i actuem immersos en l’espai, i no hi ha cap fet real i concret de la vida que transcorri fora d’ell. Però al mateix temps, l’espai presenta la dificultat de no poder-lo contemplar des de fora, contràriament al que fem amb altres coses que són objecte del nostre estudi. Potser per això l’aprenentatge de la geometria comporta unes dificultats particulars, a vegades difícils d’interpretar i de resoldre.

El coneixement de l’espai és molt ampli i no pas tot és objecte de la geometria. Aquesta s’ocupa només d’alguns aspectes de l’espai, que podem dir que són la posició, les formes (amb una, dues, o tres dimensions) i els canvis de posició o de forma. El seu aprenentatge progressiu per part de la mainada requereix sempre la implicació del seu pensament lògic, altrament no seria matemàtiques, i constitueix l’objecte de la geometria a l’escola.

Amb el desig de fer més eficaç aquest aprenentatge, el GAMAR proposa un projecte que familiarment hem anomenat “geometria dinàmica”, per les raons següents:

Primerament volem tenir en compte que les persones, iniciem el coneixement de l’espai des del moment en que som capaces de desplaçar-nos-hi, amb decisió pròpia sobre els nostres moviments, és a dir quan comencem a gatejar, i sobre tot a caminar. A partir de llavors, sempre els propis moviments són els que ens fan descobrir progressivament l’espai.
Així doncs, a l’escola, tant a l’etapa infantil com a la de primària, convindrà fonamentar l’aprenentatge de les nocions geomètriques en els moviments, del propi cos, i després passar al treball amb materials; els que presentem a la nostra web, seran molt més eficaços si primer els nens i nenes ha realitzat les activitats amb els desplaçaments a l’espai, tal com ja indiquem en diversos ítems concrets. Només eventualment en algun cas caldrà passar a la representació amb llapis i paper, i no cal dir que aquesta, o la simple contemplació de figures dibuixades i estàtiques mai no haurien de ser el primer pas.
En segon lloc, amb el fet d’incloure en el nostre projecte el treball de les transformacions, volem fer una nova aportació a aquest estil de fer geometria que hem anomenat “dinàmic”, ja que les transformacions són dinàmiques tant pel seu aspecte teòric, que estudia uns fenòmens de canvis en l’espai, com per la seva realització pràctica.
La geometria també és dinàmica perquè es basa en l’observació d’un món constantment en moviment, i precisament són els diversos moviments de la naturalesa els que produeixen la infinita quantitat de formes que en ella existeixen, i que la geometria ens ajudarà a conèixer. (El llibre de la natura està escrit amb els caràcters de la geometria.- Galileo Galilei)
Finalment podem considerar que la geometria aporta un gran dinamisme en el conjunt de l’aprenentatge de les matemàtiques, perquè provoca múltiples connexions mentals amb altres coneixements: Ja hem esmentat el seu lligam amb la motricitat, la lògica i l’observació de l’entorn immediat, a les quals cal afegir l’expressió plàstica que esdevé el seu llenguatge d’expressió propi.

Voldríem afegir-hi que, al mateix temps, l’aprenentatge de la geometria manté una gran coherència amb el de les altres branques de la matemàtica:

Amb un paral·lelisme sorprenent respecte de l’aprenentatge del càlcul, trobem en la geometria els mateixos capítols fonamentals: primerament el de les relacions, que allà eren entre quantitats i aquí seran relacions entre figures o cossos, i sobretot relacions de posició a l’espai; i en segon lloc, el dels canvis, que allà eren operacions aritmètiques i aquí seran les “transformacions” o canvis de propietats geomètriques
La geometria també té una estreta relació amb les mesures d’aquelles magnituds que es concreten en l’espai, com són la longitud de línies, la superfície o àrea de figures, el volum de cossos, i l’amplitud dels angles
També té molta relació amb la resolució de problemes. Efectivament els problemes parlen de situacions, i aquestes sempre es desenvolupen en el temps i en l’espai, i potser per això la geometria té un gran potencial per resoldre situacions reals.
Resumint, podem dir: fer geometria és conèixer l’espai i pensar-lo matemàticament, investigar-lo per descobrir-ne algunes lleis, i aplicar-les a resoldre situacions reals.

En general, creiem que el coneixement de les línies (una dimensió) està íntimament relacionat amb el de les superfícies i figures (dues dimensions) i amb el dels cossos tridimensionals, fins al punt que, en realitat, són inseparables. De tota manera hem organitzat tots els temes de geometria en quatre apartats: els temes referents a la posició es troben en el primer, juntament amb una part dels que tracten de les línies; l’altra part dels temes de línies i els que tracten de les figures formen el segon apartat; els temes sobre els cossos, s’inclouen en el tercer apartat; i en el quart, amb les transformacions, tornen a aparèixer gairebé totes les nocions, vistes ara des d’un nou angle.

Com a complement d’aquesta web, podeu trobar més orientacions didàctiques i exemples sobre la geometria en els dossiers publicats per l’Associació de Mestres “Rosa Sensat” números: 105 i 106.

En els blocs anteriors han estat ja tractats alguns aspectes directament relacionats amb la noció de volum, en el sentit ampli d’espai de tres dimensions, ja que es tracta d’una noció inseparable de les de línia i de superfície. (Recordem el cas de “línies entrellaçades”, que no poden produir-se en una superfície, sinó únicament en l’espai de tres dimensions).

Probablement els nens i nenes, fins i tot els més petits, no tenen cap inconvenient a acceptar aquest tipus de fenòmens, com a casos senzillíssims d’actuació pràctica (de la mateixa manera que si no volen trepitjar un toll d’aigua, situat en la superfície del terra, aixequen el peu enlaire, fent servir un espai en el qual ja no hi ha l’aigua). Però tot això transcorre a un nivell intuïtiu i d’actuació immediata. En canvi, sabem que moltes vegades els resulta difícil captar el volum en els espais en què ells mateixos es mouen, i sobre tot en els objectes.

Per tant, si volem iniciar una reflexió raonada sobre el volum, es tracta d’una cosa molt més complexa que la intuïció i, com sempre, haurem de fonamentar-la en experiències viscudes amb el propi cos, i en l’observació.

Per acompanyar l’observació de l’espai de tres dimensions, primerament hem de tenir en compte que el volum té dues maneres diferents de presentar-se, i per tant dues situacions diferents com a punt de partida:

Hi ha un volum que és l’espai que nosaltres mateixos “ocupem”i el nostre entorn immediat, perquè tots tenim volum, és a dir tres dimensions, però no les podem contemplar des de fora, sinó des de dins, des de nosaltres mateixos com a centre. A aquesta idea hi corresponen experiències d’entrar i sortir d’una gran capsa d’embalatge d’un electrodomèstic gran, convertida en “caseta”, i altres activitats i materials semblants, del bloc actual.
Hi ha també el volum de tots els objectes que ens envolten, que tots mirem des de fora, amb la particularitat que, tret dels objectes transparents que no són pas molt nombrosos, allò que directament veiem no és precisament l’espai o volum que els objectes ocupen sinó únicament la seva superfície, i això sembla que és una de les dificultats més grans perquè els nens i nenes imaginin, i finalment comprenguin, el volum dels cossos tridimensionals. També en el nostre bloc hi ha alguns materials que tenen en compte aquest aspecte.

Nota: per treballar el volum, creiem convenient, a més dels criteris didàctics ja esmentats, tenir en compte els següents: observar els objectes i fenòmens, no d’una manera estàtica, sinó dinàmica (què passa quan els desplacem?, quan giren?,…); observar i descriure quines figures obtenim quan seccionem alguns cossos (fets amb fang o cartolina); descriure la seva superfície diferenciant-la del cos total (folrant, pintant…); compondre i descompondre cossos, i no insistir en el vocabulari geomètric, abans d’haver realitzat tots aquests passos.

En aquest segon bloc, tal com el seu títol indica, s’hi reuneixen materials i activitats capaços de generar en els nens i nenes les nocions o conceptes de línia i de superfície, i per tant de figures bidimensionals. Certament aquestes nocions no són independents de les relacions presentades en el bloc anterior, i moltes d’elles en seran la conseqüència i el complement.

Pel que fa a les línies, presentem diversos materials i estudis de l’entorn immediat, capaços de manifestar que les línies es troben a tot arreu i no necessàriament han de situar-se sobre el paper o sobre un pla; també poden estar en l’espai, fora de qualsevol pla (com les que “dibuixen “ els avions al cel).
Es treballen les figures bidimensionals, ( que no necessàriament han de ser planes) tenint en compte que els nens, ja des de petits, reconeixen en elles diferents formes, primer només a un nivell de percepció sensorial i més endavant a altres nivells, interioritzant progressivament les diverses propietats geomètriques que tenen les formes de les figures, distingint la figura del seu contorn i arribant a classificacions molt diverses.
Es tracta de consolidar la noció de figura (bidimensional) com la regió o part de superfície limitada per una línia tancada, més la mateixa línia que la determina. Hi ha alguns materials per ajudar a distingir la línia o “contorn” de la figura, de la seva superfície, i altres, més semblants a jocs que permeten consolidar la noció.
Evidentment a les figures els direm planes només quan estiguin situades sobre un pla. Poden tenir formes molt variades, i no és ni natural ni convenient que els adults procurem que els nens i nenes es fixin sempre en les que són regulars o tenen un nom “geomètric” clàssic i ben conegut (com ara triangle, quadrat, etc..).
Al mateix temps, és indiferent que els nens i nenes petits diguin “rodona” enlloc de “cercle”, o “bola” en lloc “d’esfera”. Els noms col·loquials són ben vàlids per començar. El que sí que cal és que distingeixin una “rodona” plana d’una “bola” o “pilota” que té volum, començant a imaginar que dins d’aquesta hi podrien cabre algunes coses perquè hi ha un espai, o sigui un volum; en canvi, dins d’una peça rodona i plana (si és suficientment prima per representar una figura plana) no hi podríem ficar res perquè no hi ha espai.
En aquest segon bloc també hi ha una part dedicada a unes propietats (de línies i de figures) que anomenem “projectives”, basades en les nocions fonamentals de línia recta i de superfície plana, entre les quals destaca el coneixement dels polígons. Els alumnes poden arribar-hi per diversos camins, entre els quals es troba el del plegat de pager. Més endavant podran realitzar classificacions i anar descobrint les propietats de les diferents “famílies” resultants, com per exemple les dels polígons regulars. Aquest treball s’anirà completant en el darrer bloc, amb l’aplicació de diverses transformacions a l’estudi de les figures.
Finalment, volem subratllar que, per conèixer millor les figures hi ha molts jocs, puzles i altres activitats amb caràcter lúdic, que són conseqüència de les nocions bàsiques i, al mateix temps ajuden a consolidar-les.

Aquí tractarem de les relacions de posició, entre les quals n’hi ha de diferents tipus:

Unes primeres relacions de posició a l’espai, que són les més elementals en l’aprenentatge dels nens i nenes, i de les quals se’n deriven diverses nocions que solem reconèixer amb el nom de “nocions topològiques”. Entre elles, té una gran importància la relació d’ordre, que està íntimament lligada a la noció de línia.
Segueixen les nocions de separació, de frontera i regions, d’intersecció de línies, i de connexions. Tot això es completa amb alguns laberints i dòminos de recorreguts.
Fenòmens de posicions relatives entre dues o més línies.
Les relacions de posició no lligades a les propietats topològiques, sinó a la noció de línia recta, (base de les propietats “projectives”) i que donen lloc a fenòmens de “direccionalitat”.
Les que es fonamenten en distàncies i sovint en angles rectes, i que donen lloc a les “coordenades” (que poden ser en àmbits d’una, dues o tres dimensions).
Alguns jocs o puzles basats en la posició de figures o objectes.

Seguint amb el paral·lelisme entre la didàctica de la geometria i la del càlcul, podem dir que en la primera, que ara ens ocupa, hi ha dos grans capítols: un que es correspon amb el coneixement dels nombres, que inclou el coneixement de línies, figures i cossos, (tractat en els tres apartats anteriors) i un altre que es correspon amb les operacions, que inclou les transformacions (l’actual) que no són altra cosa que les operacions específiques de la geometria.

En efecte, per “transformacions” entenem els canvis de forma, o de posició o de totes dues coses, aplicats a les figures d’una, dues o tres dimensions. Cal que tinguem en compte que no estem parlant de canvis físics, sinó de canvis que són com una manipulació dels elements geomètrics en el terreny de les idees, tal com correspon a l’objecte de la matemàtica, que sempre és abstracte. Aquests canvis, moltes vegades són deguts a moviments, però no sempre és així necessàriament; també un mirall pot fer-nos canviar de lloc una cosa encara que només sigui virtualment.

Una transformació geomètrica, com qualsevol operació, ens fa passar d’un element que és la figura inicial, a un altre que és la figura final, seguint unes normes prèviament establertes que són les que defineixen cada tipus de transformació. Perquè, com en les operacions numèriques, n’hi ha de diferents tipus o “famílies”, cadascuna amb les seves característiques i lleis pròpies, i en relació amb unes nocions geomètriques o unes altres.

I finalment hem de dir que, així com en el càlcul les operacions ens aporten un major coneixement dels nombres, aquí les transformacions geomètriques ens aporten un major coneixement de totes les nocions geomètriques fonamentals.

Els tipus de transformacions geomètriques que ens proposem treballar són tres:

Transformacions topològiques
Poden materialitzar-se amb una deformació elàstica, realitzada amb les limitacions següents: no s’hi val a trencar la figura ni canviar el nombre de dimensions; una superfície sempre es convertirà en una superfície, mai en un volum ni en una línia.
Són les transformacions que canvien la posició, la forma i les mides de les figures. Però hi ha unes característiques essencials de les figures que no canvien, que són l’ordre en l’espai, la separació o continuïtat, les interseccions, etc. Per això aquestes, que són com el fonament de totes les propietats geomètriques, s’anomenen propietats topològiques.
Transformacions projectives
Les practicarem només entre figures planes, i poden materialitzar-se amb les ombres que aquestes produeixen en ser exposades a una llum puntual. Aquí també canvien la posició i la forma de les figures, però hi ha algunes altres característiques que no canvien, a més a més de les topològiques, que són la diferència entre línies rectes i corbes, i tot el que d’això se’n deriva. Es diuen propietats projectives.
Transformacions mètriques
Són aquelles que poden aplicar-se tant a figures planes com a cossos amb volum, i que es caracteritzen pel fet que, a més a més de mantenir invariables les propietats de les anteriors transformacions, és a dir les topològiques i les projectives, tampoc no canvien ni la forma ni les mides, sinó només la posició a l’espai. Ho podríem resumir dient que conserven les distàncies i els angles de les figures i cossos; per això aquestes dues característiques, i les moltes propietats que d’elles se’n deriven, s’anomenen propietats mètriques. Les transformacions mètriques són tres: les translacions, els girs i les simetries

Pel que fa al treball de les transformacions, proposem l’eix conductor següent:

Pràctica de la transformació, a partir de l’experiència amb materials i el seu reconeixement en la vida diària.
Observació i descoberta de quines propietats geomètriques de les figures canvien i quines no canvien, en produir-se la transformació.
Aplicació de les transformacions a l’estudi de diferents categories de figures i cossos, ampliant així la seva visió i coneixement, tant si ja han estat treballats abans, com si encara no ho han estat. Aquest capítol és un exponent claríssim de la manera de fer geometria que hem anomenat “dinàmica”.
Reflexió entorn del funcionament de cada tipus de transformació, és a dir, sobre les seves lleis internes, com a operació, Comparació, si s’escau amb les propietats d’altres operacions, aritmètiques o geomètriques.

Els punts 1 i 2 són imprescindibles en el nostre plantejament, per poder arribar al punt 3, que és el nus de la nostra proposta, la qual sol ser engrescadora, tant per als nens i nenes com per als mateixos mestres, ja que permet arribar als coneixements clàssics de la geometria per uns nous camins inesperats i que involucren l’acció directa dels alumnes.

Respecte del punt 3, voldríem remarcar el cas de les simetries, que tenen la capacitat de donar resposta i explicació a gairebé la totalitat dels temes propis de la geometria mètrica.

Al punt 4, li dediquem en aquesta web menys espai que als altres, perquè es refereix poc a temes per realitzar amb material, i més a conclusions teòriques, que poden trobar-se tant al dossier 106, esmentat en la presentació general de geometria, com en el mateix GAMAR. Creiem que és un capítol molt interessant però que requereix un grau de maduresa propi del final de primària, i de la secundària.

Resumint, podem dir que les transformacions, tal com aquí les presentem, són un capítol de la matemàtica adequat per a l’escola primària i primer cicle de la secundària i que a l’etapa infantil poden fer-se ja activitats espontànies, com a preparació, en la mateixa línia.

Creiem que les transformacions, podrien ser un excel·lent eix transversal de l’aprenentatge de tota la geometria.