Transformacions geomètriques

Seguint amb el paral·lelisme entre la didàctica de la geometria i la del càlcul, podem dir que en la primera, que ara ens ocupa, hi ha dos grans capítols: un que es correspon amb el coneixement dels nombres, que inclou el coneixement de línies, figures i cossos, (tractat en els tres apartats anteriors) i un altre que es correspon amb les operacions, que inclou les transformacions (l’actual) que no són altra cosa que les operacions específiques de la geometria.

En efecte, per “transformacions” entenem els canvis de forma, o de posició o de totes dues coses, aplicats a les figures d’una, dues o tres dimensions. Cal que tinguem en compte que no estem parlant de canvis físics, sinó de canvis que són com una manipulació dels elements geomètrics en el terreny de les idees, tal com correspon a l’objecte de la matemàtica, que sempre és abstracte. Aquests canvis, moltes vegades són deguts a moviments, però no sempre és així necessàriament; també un mirall pot fer-nos canviar de lloc una cosa encara que només sigui virtualment.

Una transformació geomètrica, com qualsevol operació, ens fa passar d’un element que és la figura inicial, a un altre que és la figura final, seguint unes normes prèviament establertes que són les que defineixen cada tipus de transformació. Perquè, com en les operacions numèriques, n’hi ha de diferents tipus o “famílies”, cadascuna amb les seves característiques i lleis pròpies, i en relació amb unes nocions geomètriques o unes altres.

I finalment hem de dir que, així com en el càlcul les operacions ens aporten un major coneixement dels nombres, aquí les transformacions geomètriques ens aporten un major coneixement de totes les nocions geomètriques fonamentals.

Els tipus de transformacions geomètriques que ens proposem treballar són tres:

• Transformacions topològiques
  Poden materialitzar-se amb una deformació elàstica, realitzada amb les limitacions següents: no s’hi val a trencar la figura ni canviar el nombre de dimensions; una superfície sempre es convertirà en una superfície, mai en un volum ni en una línia.
  Són les transformacions que canvien la posició, la forma i les mides de les figures. Però hi ha unes característiques essencials de les figures que no canvien, que són l’ordre en l’espai, la separació o continuïtat, les interseccions, etc. Per això aquestes, que són com el fonament de totes les propietats geomètriques, s’anomenen propietats topològiques.
• Transformacions projectives
  Les practicarem només entre figures planes, i poden materialitzar-se amb les ombres que aquestes produeixen en ser exposades a una llum puntual. Aquí també canvien la posició i la forma de les figures, però hi ha algunes altres característiques que no canvien, a més a més de les topològiques, que són la diferència entre línies rectes i corbes, i tot el que d’això se’n deriva. Es diuen propietats projectives.
• Transformacions mètriques
  Són aquelles que poden aplicar-se tant a figures planes com a cossos amb volum, i que es caracteritzen pel fet que, a més a més de mantenir invariables les propietats de les anteriors transformacions, és a dir les topològiques i les projectives, tampoc no canvien ni la forma ni les mides, sinó només la posició a l’espai. Ho podríem resumir dient que conserven les distàncies i els angles de les figures i cossos; per això aquestes dues característiques, i les moltes propietats que d’elles se’n deriven, s’anomenen propietats mètriques. Les transformacions mètriques són tres: les translacions, els girs i les simetries

Pel que fa al treball de les transformacions, proposem l’eix conductor següent:

1. Pràctica de la transformació, a partir de l’experiència amb materials i el seu reconeixement en la vida diària.
2. Observació i descoberta de quines propietats geomètriques de les figures canvien i quines no canvien, en produir-se la transformació.
3. Aplicació de les transformacions a l’estudi de diferents categories de figures i cossos, ampliant així la seva visió i coneixement, tant si ja han estat treballats abans, com si encara no ho han estat. Aquest capítol és un exponent claríssim de la manera de fer geometria que hem anomenat “dinàmica”.
4. Reflexió entorn del funcionament de cada tipus de transformació, és a dir, sobre les seves lleis internes, com a operació, Comparació, si s’escau amb les propietats d’altres operacions, aritmètiques o geomètriques.

Els punts 1 i 2 són imprescindibles en el nostre plantejament, per poder arribar al punt 3, que és el nus de la nostra proposta, la qual sol ser engrescadora, tant per als nens i nenes com per als mateixos mestres, ja que permet arribar als coneixements clàssics de la geometria per uns nous camins inesperats i que involucren l’acció directa dels alumnes.

Respecte del punt 3, voldríem remarcar el cas de les simetries, que tenen la capacitat de donar resposta i explicació a gairebé la totalitat dels temes propis de la geometria mètrica.

Al punt 4, li dediquem en aquesta web menys espai que als altres, perquè es refereix poc a temes per realitzar amb material, i més a conclusions teòriques, que poden trobar-se tant al dossier 106, esmentat en la presentació general de geometria, com en el mateix GAMAR. Creiem que és un capítol molt interessant però que requereix un grau de maduresa propi del final de primària, i de la secundària.

Resumint, podem dir que les transformacions, tal com aquí les presentem, són un capítol de la matemàtica adequat per a l’escola primària i primer cicle de la secundària i que a l’etapa infantil poden fer-se ja activitats espontànies, com a preparació, en la mateixa línia.

Creiem que les transformacions, podrien ser un excel·lent eix transversal de l’aprenentatge de tota la geometria.